Etiket: Dokuz Eylül

Her matematikçinin bilmesi gereken integral

Selam. Calculus derslerinde integral hesabından bahsederken, bazen tahtaya \int e^{-x^{2}}dx belirsiz integralini yazıp öğrencilerden bulmalarını istemek gibi afacanlıklar yaparım. İşin esprisi, bu fonksiyonun temel fonksiyonlar cinsinden bir integralinin olmaması. Bu integralin ise bende şöyle bir anısı var.

Yanılmıyorsam yine geçen yazımda bahsettiğim 2002-2003 öğretim yılındaydık. Dönem başıydı ve ders seçme aşamasındaydık. Ben de kayıt haftasında her derse bir kere girip ondan sonra kesin karar vermek gibi garip bir karar aldım. Garip diyorum çünkü açılan derslerden birisi Valery Hoca’nın açtığı “Special Functions and Differential Equations” dersiydi ve ben zaten hangi konulardan hoşlandığımı (ya da hoşlanmadığımı) az çok biliyordum.

Derse girdik oturuyoruz derken iki-üç hoşbeşten sonra Valery hoca tahtaya şu integrali yazdı

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

ve bize “bu integralin değerini bilmeyen matematikçi olamaz” dedi. İlk ders için etkileyici olan bu girişten sonra da bu integralin değerinin \sqrt{\pi} olduğunu hesapladı.

Ben de bu vesile ile bu integrali hesaplayarak sorumluluğumu yerine getirmek ve bayrağı gelecek nesillere devretmek istiyorum.

Bu integralin değerine I diyelim:

\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

Bu durumda, I’nın karesi aşağıdaki çift katlı integrale eşit olacaktır:

\displaystyle I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy = \iint\limits_{\mathbb{R}^{2}} e^{-x^{2} - y^{2}}dxdy

Kutupsal koordinatlarda bu integral aşağıdaki hale gelecek:

\displaystyle I^{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}drd\theta

(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ dxdy = rdrd\theta olduğunu hatırlayalım). Böylece

\displaystyle\begin{aligned} I^{2} = \int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}re^{-r^{2}}dr\\ & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\left(\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\right)_{0}^{t}\\ & = \pi \end{aligned}

elde edilir. Buradan da, her iki tarafın karekökünü alarak

\displaystyle I = \sqrt{\pi}

bulunur.

Peki, bu integralin temel fonksiyonlar cinsinden yazılamayacağını nereden biliyoruz? Yani sırf biz bulamıyoruz diye böyle bir integral yok mu diyoruz? Eşim evde benden bir şeyi bulmamı istediğinde, ilk baktığım yerde bulamazsam “yoook” der ve geri gelirim. Burada öyle yapmayıp, konuyla ilgili olarak W. Cook’un “Elementary Functions and Liouville’s Theorem” başlıklı yazısını bir link bırakıyorum.

Sonuç olarak, o dersten sonra Valery Hoca’nın dersine kayıt olmadım. Tam hatırlamıyorum ama ya geçen yazıda bahsettiğim Engin Hoca’nın sayılar teorisi dersine kayıt oldum ya da Sedef Hoca’nın verdiği (aldığım en zevkli ve heyecan verici derslerden biri olan) Ölçme Teorisi ve Lebesgue İntegrali dersine kayıt oldum. Ancak iyi ki o gün o derse girip bu integral hesabını öğrendim de matematikçi olabildim.

Dipnotlar

  1. Bu konu bana 2000-2001 öğretim yılında birinci sınıftayken fizik derslerinde “artık bakkallar bile integral alıyor” diyerek bize hafiften fırça atan Coşkun İşçi Hoca’yı hatırlattı.
  2. Hafızam beni yanıltmıyorsa, Engin hoca bize bu integrali Advanced Calculus final sınavında sormuştu. Zaten aynı soru o zaman kullandığımız Kaplan’ın Advanced Calculus kitabının egzersizleri arasında da var.

Dokuz Eylül anıları: Altı saat süren Sayılar Teorisi Sınavı

Geçenlerde ekşi sözlükte tanıdığım matematikçiler hakkında ne yazmışlar diye bakınırken, Engin Hoca’nın (Engin Mermut) başlığına kuul adlı kullanıcı tarafından yazılmış şu entry ile karşılaştım:

şimdiye kadar buralara adının düşmemesini büyük hayretle karşılıyorum. kendisi bilkent çıkışlı bir dokuz eylül hocasıdır. matematik bölümünde ikamet eder. çalışma azmi karşısında tek rakibi zannedersem atom karınca olsa gerektir. gelgelelim bu azmin öğrencilere dönüşü pek de tatlı olmaz. kendisi tek dönemde birkaç kitabı yazma ve anlatma kapasitesine sahiptir. eğer dersini alıyorsanız yapacağınız şey kıçınızdan soğuk terler dökerek yazdığınız notları ‘ya nasip’ diyerek açmak ve gözünüze kestirdiğiniz bir kısım yerleri çalışarak sınava girmek ya da geçmiş senelerin sorularını tedarik edip onları ezberlemektir. gerçi allah var sınavda soru sorduğunda içinde kolaylıkla yapabileceğiniz birkaç soru mutlaka çıkacaktır. ancak sorun şu ki o kolaylıkla yapabileceğiniz sorular 400 sayfalık kitabın ilk yarısından mı yoksa ikinci yarısından mı gelecektir? işte essah mesele de zaten budur. bir de biz o günleri görmedik allahtan ama bir kısım mağdurlardan işitiyoruz ki bir zaman sınavlarında defter kitap serbest, süre 6 saat ve sınavlar da 150-180 puanlık olurmuş.

Her ne kadar geçtiğimiz günlerde eve bir tansiyon aleti almış olsak da, aslında henüz anılarımı yazmaya başlayacak kadar yaşlı olmadığımı düşünüyorum. Ancak ekşisözlük’teki entry bana yıllar önce aldığım sayılar teorisi dersini (ve sınavını) hatırlattı ve hala bazı şeyleri hatırlıyorken yazmaya karar verdim.

Yazarın da belirttiği gibi, Engin Hoca’nın başlığına sadece bir entri girilmiş olmasına ben de şaşırdım. Entride geçen “…bir zaman sınavlarında defter kitap serbest, süre 6 saat ve sınavlar da 150-180 puanlık olurmuş” kısmı ise bana anında Hasibe Eren’in şu tweetini hatırlattı:

Her neyse, 2002-2003 öğretim yılıydı ve ben Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Bölümü’nde üçüncü sınıf öğrencisiydim. Güz müydü bahar mıydı hatırlamıyorum ama Engin Hoca’nın seçmeli ders olarak “Introduction to Number Theory” dersini açacağını duyduk. O zamanlar Gökhan Hoca ve Engin Hoca hangi dersi açıyorsa almak gibi bir prensibim vardı ve bu dersi de almamak olmazdı. Ve olaylar gelişti.

Yanlış hatırlamıyorsam Engin Hoca dersi ilk defa bizim dönemde açmıştı. Ders kitabı olarak Silverman’ın “A Friendly Introduction to Number Theory” kitabını takip edecektik. Kitabın içindekiler kısmına ve kalınlığına baktığımızda ilk görüşler “Engin Hoca’nın bile” o kitabı bir dönemde bitiremeyeceği yönündeydi. Ama Engin Hoca’nın şakası yoktu tabi ve bütün kitabı bitirdik. Herhalde ortalamada her hafta 3-4 kısım bitiriyorduk kitaptan. Dersler zaman zaman Engin Hoca ve sevgili dostum Zafer arasında soru-cevap şeklinde geçiyordu. Bense daha ziyade bütün bu olan biteni seyredip sonrasında bir güzel sindirmeye ihtiyaç duyuyordum. Hatta belki de real-time strateji oyunları yerine turn-based strateji oyunlarını sevmem benzer sebeplerdendir.

Her neyse, söz konusu vizeye gelelim. Aslında Engin Hoca vizede notlar ve kitabın açık olduğunu ve vizenin süresinin “acıkıncaya kadar” olduğunu belirttiğinde işin rengi belli olmuştu. Sınav sırasında durum öyle bir hal aldı ki, o sıralarda kısmi diferansiyel denklemler dersine sınıfın büyük bir kısmının girmediğini gören Gonca Hoca bizim sayılar teorisi sınavında mahsur kaldığımızı duymuş ve sınıfa gelmişti. Ben sınavdan ilk çıkanlardandım ve dört saat civarı kalmıştım. Sınav kaç puan üzerindendi hatırlamıyorum ama ben saat başına 21.75 ortalama ile 87 aldım. Kitabın açık olduğu ve dört saat oturduğunuz bir sınavda 87 almak başarı sayılır mı sayılmaz mı takdiri size bırakıyorum.

O zamanlar Engin Hoca’ya verdiğimiz sınav kağıtlarımız kırmızı tükenmez kalemle yoğun bir şekilde düzeltilmiş olarak geri gelirdi. Hatta bazen öyle olurdu ki Engin Hoca’nın düzeltmeleri bizim yazdığımız cevaplardan daha fazla olurdu! Bu sebeple Engin Hoca’nın kağıdıma yazdığı “very well written” yorumunu unutamam. Öyle ki aldığım nottan çok bu yoruma sevinmiştim. Aradan çok zaman geçtiği için soruları falan hatırlamıyorm. Sınav kağıdı hala eski notlar ve kitapların arasında İzmir’de duruyor olmalı. İzmir’e gittiğimde bulabilirsem süper olur.

Sonuç olarak, çok zevk aldığım bir dersti. Hatta linsans eğitimimde cebir dersleri dışında beni Sedef Hoca’nın açtığı “Ölçme Teorisi ve Lebesgue Integrali” dersi ile birlikte en çok etkileyen dersti.

Bu yazıyı yazarken Dokuz Eylül’deki yıllarımı düşündüm ve aradan geçen yaklaşık 20 senenin ne yazık ki bir çok şeyi hafızamdan sildiğini fark ettim. Çok güzel zamanlardı. Hatırladıkça burada paylaşmaya çalışacağım.