Kategori: Matematik

2023 Güz Dönemi, 10 & 11. Haftalar

Beni tanıyanların şaşırmayacağı şekilde yine gecikmeli olarak, iki haftayı birden yazarak aradan çıkarıp kaçacağım. Nasıl oldu anlamadım ama bugün-yarın yazarım derken yine kağıt okumalı, soru hazırlamalı, hasta olmalı falan iki hafta çabucak geçti.

10. haftanın ilk dersinde, geçen hafta başladığımız kutupsal koordinatlar kullanarak integral hesaplarını bitirdik. Haftanın ikinci dersinde de öğrencilere en fazla üçerli gruplar halinde çalışabildikleri bir sınavcık verdik. Konu olarak iki katlı integralleri belirlemiştik. Burada otoriteleri ve tecrübeli öğrencileri şaşırtmayarak tamamen notlardan/kitaptan sordum. Birkaç rutin sorudan sonra \int_{0}^{1}\int_{y}^{3y}e^{x^2}dxdy integralini integralin sırasını değiştirerek hesaplamalarını istedim ki, bu sorunun \sin(y^2)‘li olanını derste çözmüştüm. Yani aslında görmek isteyenler için ders notlarında büyük ipuçları var, “Bu adam burada \sin(y^2) sorduysa kesin cos(y^2) vb bir integral sorar” diye düşünmeyen öğrenciyi hayal edemiyorum. Bunun dışında da bir tane kutupsal koordinat sorusu sordum. Orada da \frac{1}{1 + x^2 + y^2} fonksiyonunun dairesel bir bölgede integralini hesaplamalarını istedim.

11. haftada ilk olarak öğrencilere sınav sorularını açıkladım. Daha sonra da üç katlı integrallere girdik. Nasıl oldu anlamadım ama biraz hızlı gittik ve silindirik ve küresel koordinatları kullanarak üçlü integral hesaplarını da bitirdim. Bu haftada ayrıca öğrencilere ikinci ve son ev ödevlerini verdim ve şimdiden bu ödevlerin değerlendirilmesini kara kara düşünüyorum (yaklaşık 150 tane ödev). Dönemin son haftalarına doğru öğrencilerde her zaman olduğu gibi bir kondisyon düşüşü oluyor. Neyse ki iki hafta kaldı (yılbaşından sonraki bir haftayı saymıyorum).

Geçen iki haftada Türkiye gündemindeki “eksi netle üniversiteye giren öğrenciler” konusu aklımda kaldı. Bana sorarsanız kimin kaç netle üniversiteye girdiği asıl sorun değil. Sonuçta o kadar kontenjan varsa birileri o kontenjanları dolduracak. Ancak bunun daha değişik sonuçları var. Genelde böyle ortamlarda öğrencilerimden şikayet etmek gibi bir huyum yoktur ama, daha en basit cebirsel özelliklerden (mesela dağılma özelliği) haberi olmayan öğrenciler Calculus derslerine kayıt oluyor. Hadi bunu gidermek için benim de bu dönem anlattığım ve beni oldukça yoran pre-calculus dersi koyalım diyoruz, ama orada da durum pek iç açıcı değil. Fırsat buldukça öğrencilere şikayetlerini ve tavsiyelerini soruyorum (ya da genelde kendileri ben sormadan şikayet ediyorlar). Zaman zaman duyduğum ve beni her duyduğumda hala hayretlere düşüren bir serzenişlerden birisi de “Ama hocam bu çok zor!?” minvalindekiler. Yani bazı öğrenciler samimi şekilde ders içeriğindeki bazı konuların onlar için aşırı zor olduğu ve çıkarılması gerektiği ya da en azından sınavlarda sorulmaması gerektiğine inanıyor. Galiba bir yaş grubunda her bireyin doktor veya mühendis (ya da herhangi bir başka meslek) olması pek gerçekçi bir beklenti değil. Sonra istatistiklere bakıp hocaya “Bu sınavda neden bu kadar düşün not var?” ya da “Neden bu dersten bu kadar insan kaldı?” diye hesap sorulmasını doğru bulmuyorum. Bu konu uzun uzun tartışılması gereken ve yanlış anlaşılmalara müsait bir konu. Şimdilik burada keselim.

Selamlar!

2023 Güz Dönemi, 9. Hafta (19 – 23 Kasım)

Vize haftası nedeniyle ara verdiğimiz derslere bu hafta devam ettik. Notların açıklanmasının ardından ofis saatine gelen öğrenci sayısında olağanüstü bir artış yaşandı (kapıda kuyruk oluşturacak kadar). Online olarak yapılan, her sorunun puanının yanında yazdığı bir sınavdan sonra hala hala not pazarlığı yapılması ilginç.

Çok değişkenli kalkülüs dersinde bu hafta katlı integrallere başladık. Önce dikdörtgenler sonra da genel (tip 1 ve tip 2) bölgeler üzerinde integral hesaplarına baktık. Arada Fubini Teoreminden ve ikili integral kullanarak alan ve hacim hesaplamalarından bahsettik. İntegralin sırasını değiştirmeyi çalıştık ve özellikle \int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\sin(y^2)dydx gibi, sırayı değiştirmeden hesaplamanın imkansız olduğu örneklere baktık. Haftanın son dersinde kutupsal koordinatlara giriş yaptık ama bitiremedik. Önümüzdeki hafta kutupsal koordinatları bitirip öğrencilere küçük bir sınav vereceğiz. Bu sınıfta son dersimiz burada haftanın son günü olan Perşembe günü ve akşam saatinde. Haftanın son günü olduğu için olsa gerek son dersimiz güzel bir atmosferde geçti. Sınıfta the Matrix’i seyreden öğrenci sayısının fazlalığı beni sevindirdi. Ancak daha da ilginç olanı “I don’t like Mondays” adlı parçayı bilen öğrencilerin Matrix’i izlemiş olanlardan daha fazla olmasıydı. Kızımın K-pop dinlemesi konusunda yaptığım yorumlarsa sınıftaki birkaç K-pop hayranı öğrencimi üzdü sanırım 🙂

Pre-calculus dersinde de polinomların reel (ve hatta rasyonel) kökleriyle ilgili bazı sonuçlara baktık (bölme algoritması, rasyonel köklerin özellikleri vs). Ayrıca fonksiyonlarda bileşke işlemi, birebir fonksiyonlar ve bir fonksiyonun tersinden bahsettik. Bu ders o kadar dolu bir ders ki, sınıfta yeteri sayıda soru çözemediğimi düşündüğüm için Moodle’a çözümlü sorular koymaya başladım.

İyi haftalar.

Güz Dönemi 5 – 8. Haftalar

Neyse ki burayı kimse okumuyor da son üç haftadır ders günlüklerini yazmadığımı kimse fark etmedi. Aslında beşinci haftayı yazmayı unuttuğumun farkındaydım ve sonra iki haftayı birden yazarım diye düşünmüştüm. Az önce bu yazıyı yazmak için bilgisayar başına geçtiğimde üç haftadır yazmadığımı görüp ufak bir şok yaşadım.

Beşinci haftada (22 – 26 Ekim) planladığımız gibi zincir kuralı ve yönlü türevlerden bahsettik. Zincir kuralı zaten öğrencilerin tek değişkenli kalkülüsten aşina oldukları bir yöntem ve çok değişkenli fonksiyonlara genellemekte zorlanmadık. Kısaca bahsetmek gerekirse, zincir kuralının bir durumunda, eğer z = f(x,y) iki değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonsa ve buna ek olarak x = g(t) ve y = h(t) de t‘nin türevlenebilir fonksiyonları ise, z de t‘nin türevlenebilir bir fonksiyonudur ve \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt} olur diyebiliriz.

Haftanın önemli bir kısmında ise yönlü türevler, gradient vektörü, tanjant düzlemleri ve normal doğrularından bahsettik. Burada iki değişkenli f(x,y) fonksiyonunun \partial f/\partial x ve \partial f/\partial y kısmi türevlerinin aslında \textbf{i} ve \textbf{j} yönündeki türevleri olduğunu gördük. Bir fonksiyonun bir noktadaki en yüksek değişim miktarının nasıl bulunacağını ve hangi yönde olduğunu öğrendik. Buna bağlı olarak da kısaca bir kontur haritasındaki en hızlı inişlerden bahsettik.

Altıncı haftanın (29 Ekim – 2 Kasım) ilk dersinde “İkinci Türev Testi” kullanarak bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerinin bulmayı öğrendik. Haftanın ikinci dersindeyse öğrenciler bu dönemki ilk küçük sınavlarını oldular. Küçük sınav dediğim öğrencilerin grup halinde ya da bireysel olarak çalışabildiği 60 dakikalık bir sınavcık. Öğrenciler verilen çok değişkenli fonksiyonun birinci kısmi türevlerini bulma; zincir kuralı kullanarak bir kısmi türev bulma; verilen çok değişkenli fonksiyonun verilen bir yönde türevini bulma, aynı fonksiyonun maksimum değişim oranını bulma; ve son olarak da bir maksimum/minimum problemini çözme görevlerini yaptılar.

Yedinci haftanın (5 – 9 Kasım) ilk dersinde, çok değişkenli bir fonksiyonun bir koşula bağlı olarak maksimum/minimum değerlerini bulmaya yarayan (örneğin, bir S yüzeyinde orijine en yakın olan noktaları bulmak gibi) Lagrange Çarpanları yöntemini gördük. Haftanın ikinci dersindeyse önümüzdeki hafta yapılacak olan vize sınavı için genel bir tekrar yaptık.

Sekizinci haftada (12 – 16 Kasım) vizeler dolayısıyla ders yok. Haftaya çok değişkenli fonksiyonların integrallerine geçeceğiz.

Pre-Calculus dersinden bahsetmek gerekirse, aradan geçen zamanda fonksiyonların özelliklerini (tek/çift, artan/azalan, maks/min değerler, fonksiyonların grafikleri) bitirdik ve fonksiyonların sınıflandırılmasına başladık. Doğrusal ve kuadratik fonksiyonlar ve eşitsizliklerden sonra bu hafta polinom fonksiyonlar ve rasyonel fonksiyonlar ve bunları içeren eşitsizliklerden bahsedeceğiz.

2023 Güz Dönemi, 4. Hafta (15 – 19 Ekim)

Bu hafta da olaysız geçti. Precalculus’ta reel sayıların özelliklerini bitirdik ve grafikler, doğru denklemleri, çember denklemleri ile işler ciddileşmeye başladı. Bu dersi ilk defa anlattiğımı daha önce yazmıştım sanırım (ya da Twitter’da yazdım, iki mecra birbirine karışıyor zaman zaman). Neyse, bu dersi anlatırken farkediyorum ki bizim Calculus öğrencilerinin yaptığı tüm hatalar ve doğru bildikleri yanlışlar aslında precalculus dersinde hep açıklanıyormuş. Yani ders tam Calculus öğrencilerinin yaptığı hatalara tepki olarak doğmuş neredeyse! Ama yine de bu dersin içeriği ve ders kitabıyla ilgili rahatsızlıklarım var. Buna ek olarak da takip ettiğimiz ders planları da çok gerçekçi değil. Örneğin önümüzdeki haftada fonksiyonların özelliklerini (grafik okuma, artan/azalan fonksiyonlar, tek/çift fonksiyonlar, ortalama değer, max/min değerler, ve özel fonksiyonlar) anlatmam ve bunu yaparken de yaklaşık 60 soru çözmem falan bekleniyor!

Neyse ki multivariate calculus dersi daha az sorun barındırıyor. Ayrıca öğrencilerin de tecrübeli olması gibi bir avantaj var. Dördüncü haftada bu derste vektör fonksiyonları bitirip çok degişkenli fonksiyonlara (tanım kümesi, limit, süreklilik) giriş yaptıktan sonra kısmi türevleri gördük. Ayrıca oğrenciler ilk ev ödevelerini perşembe günü aldılar. Öğrenciler notlarının bir kısmını iki tane ev ödevinden alıyorlar. Covid’le birlikte hayatımıza online sınavlar/ödevler girdi ve Covid’in bir mirası olarak hala kullanılıyor. Ev ödevleri Moodle üzerinden dağıtılıyor ve öğrenciler de ödevlerini Moodle üzerinden teslim ediyorlar. Her öğrencinin aynı sorunun farklı versiyonlarını çözmesini sağlamak için de, bir Moodle eklentisi olan Wiris kullanıyorum. Sorular hazırlanırken tasarım sürecine dikkat edilirse, hatasız ve okuması da kolaylaşan ödevler hazırlamak mümkün.

Beşinci haftada zincir kuralı, yönlü türevler (?), gradient, ve teğet düzlemi ile devam edecegiz.

2023 Güz Dönemi, 3. Hafta (8 – 12 Ekim):

Dun aksam baska islerle ugrasirken gecen haftanin muhasebesini yapmayi unutmusum! Bu hafta Pre-Calculus’ta denklem sistemleri ve uslu ifadelerden bahsettik. Ayrica ogrencilere bir kucuk quiz verdim. Islem hatalarinin fazlaligi beni sasirtti. Ogrenciler genel olarak hesap makinesi kullanma yasagindan sikayetciler. Ancak bazi calculus ogrencilerinden de gordugum kadariyla sorun hesap makinesi kullanamamak degil. Sorunlarin onemli bir kismi temel ozellikleri (dagilma ozelligi, ortak carpanlar, sadelestirme, islem sirasi, parantez kullanimi vs) bilmemekten de kaynaklaniyor. Bu sebeple bu derslerde elimden geldigince iyi bir is cikarmaya calisiyorum. Umarim bu dersi gectikten sonra gelecekte ogrenciler daha az sorun yasayacaklar. Ogrenciler ayni anda Ingilizce hazirlik da okuyorlar. Bazi ogrencilerle aramizda onemli bir dil bariyeri de var. Bu sinifta ders disi muhabbet olarak aklimda kalan ise (Netflix’te neler oldugu disinda), Turkiye’de ogrenciyken okula arabayla gelen ogrenci sayisinin azligindan bahsettigimde yuzlerinde beliren hayret ifadesiydi. Burada okula arabayla gelmeyen ogrenci sanirim yok.

Multivariate Calculus’te ise dogru ve duzlem denklemleri ve vektor degerli fonksiyonlardan bahsettik. Vektor degerli fonksiyonlardaki limit, turev ve integral hesaplamalari tek degiskenli fonksiyonlardaki hesaplamalara indirgendigi icin burada cok rahat ilerledik. Yine de bazi kurallarin ve yontemlerin (mesla l’Hospital Kurali) bazi ogrenciler tarafindan unutuldugunu gordum. Bu sefer dogru ve duzlem denklemlerini anlatirken asagidaki twitte bahsettigim gibi aska gelmedim:

Bu denklemlerin nasil elde edildiklerini bir cizim uzerinde sozlu olarak kisaca anlatmakla yetindim. Yalniz x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z=z_0 + ct, 0 \leq t \leq 1 seklindeki, iki nokta arasindaki dogru parcasinin parametrik denklemlerinin cikarilisini detayli olarak gosterdim (kisitli surede yapilabilecek en kolay sey bu cunku). Bir-iki parametrik denklem daha gorup konuyu kapattik. Sonrasinda da vektor degerli fonksiyonlarda tanim kumesi, limit, turev, ve integralden bahsettik. Gelecek hafta (yani bu hafta) kismi fonksiyonlarin turevlerine gececegiz.

2023 Güz Dönemi, 2. Hafta (1 – 5 Ekim): Vektörler & The Big Bang Theory

Hızlı bir hafta oldu. Olaysız geçti. Geçen sene bayağı vakit harcayıp ders Calculus ve Lineer Cebir ders notlarını \LaTeX‘te yazdığım için şu an çok rahatım. Artık sadece gerekirse ufak-tefek güncellemeler yapıyorum.

Pre-Calculus: İkinci haftada lineer denklemler, eşitsizlikler ve denklem sistemlerinin çözümlerinden bahsettik. Bu hafta öğrencilerin genel seviyesi hakkında daha iyi bilgi sahibi olunca derslerde güzel bir tempo tutturduk. Öğrencilerin katılımı genel olarak güzeldi.

Çok Değişkenli Kalkülüs: Bu hafta vektörler ve vektörlerle işlemler (bir vektörün büyüklüğü, toplama, skalerle çarpma, iç çarpım, dış çarpım) ve bu işlemlerin özelliklerinden bahsettik. Daha sonra da iki vektör arasındaki açı ve paralelkenarın alanını gördük. Bu derste birinci haftada bir dersimizi tatile kaybettiğimiz için biraz hızlı ilerlemek zorunda kaldık. Dersin sonunda Cauchy-Schwarz ve Üçgen Eşitsizliklerinden bahsedip öğrencilere ödev olarak vermeyi düşünüyordum ama vaktim kalmadı. Olaysız dağıldık.

Genel olarak liseden yeni gelen öğrencilerde bir iyileşme gördüm. Covid nedeniyle Kuveyt’te iki yıl civarı okullar uzaktan eğitim verdi ve son iki senede okula gelen öğrencilerden biraz şikayetçiydik. Geçen sene okulların tamamen açılmasıyla işler normale dönmüş gibi.

Small talk konusunda zaten pek başarılı değilim ancak vakit dar olduğu için sürekli yetiştirmem gereken bir şeyler oluyor ve her zaman öğrencilerle sohbet etme fırsatım olmuyor. Klasik sohbet başlatıcı sorularımın arasında “Şu sıralar Netflix’te neler izliyorsunuz?” ya da “Şu sıralar ne okuyorsunuz?” var. Geçtiğimiz hafta yine sormam üzerine, bir öğrencim Netflix’te the Big Bang Theory‘yi seyrettiğini söyledi. Kendilerine o diziyi ilk çıktığı zaman, muhtemelen onların yaşlarındayken seyretmeye başladığımı söyleyince, dizinin çıktığı seneye baktık ve o sene öğrencilerimin iki yaşında olduğunu öğrendik! Zaman ne hızlı geçiyor.

2023 Güz Dönemi, 1. Hafta (24 – 28 Eylül)

Hem kendime notlar olması açısından hem de meraklısı için bu dönem anlattığım derslerle ilgili haftalık güncellemeler paylaşmaya karar verdim. Bu dönem üniversiteye yeni kayıt olan öğrencilerin aldığı Pre-Calculus dersini ve daha tecrübeli öğrencilerin aldığı Çok Değişkenli Kalkülüs derslerini anlatıyorum. Her iki dersi de mühendislik öğrencileri alıyor.

Pre-Calculus dersi haftada 100’er dakikadan iki ders olarak ilerliyor. Bu derste, öğrenciler daha sonra alacakları Calculus dersleri için hazırlanıyor. Dersin içeriği kabaca Gerçel Sayıların Özellikeri; Gerçel Sayılarla İşlemler; Denklem ve Eşitsizlik Çözümleri; Üslü ve Köklü İfadeler; Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler; Grafikler; Doğrular ve Çemberler; ve Fonksiyonlar şeklinde. Bu derse 20 Eylül Çarşamba günü başladık. İlk ders tanışma, ders içeriği, genel kurallar, ödevler, sınavlar vs ile ilgili konuşarak geçti. 24-28 Eylül haftasındaysa gerçel sayılara giriş yaptık. Burada bu dersten ziyade çok degişkenli kalkülüs dersine ağırlık vereceğim genelde.

Çok değişkenli kalkülüs dersı de haftada 100’er dakikadan ikişer ders olarak ilerliyor. Öğrenciler bu dersi almadan önce iki tane kalkülüs dersi alıyorlar. Dersin içeriği ise kabaca 3-Boyutlu Uzayın Yapısı; Vektörler; Doğru ve Düzlem Denklemleri; Vektör Fonksiyonların Türev ve İntegralleri; Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit, Süreklilik, Türev, ve İntegral şeklinde. Bu derste geçen hafta sadece bir ders yapabildik. O derste de tanışma ve ders hakkında genel bilgilerden sonra ilk konu olarak 3-boyutlu koordinat sisteminden bahsettik ve daha sonra iki nokta arasındaki uzaklık formülü ve küre denkleminden bahsettik. Bu derste en büyük zorluk çizimler! Sıkıştığım anlarda projeksiyondan yararlanmayı düşünüyorum.

Yeni öğretim yılı herkese hayırlı olsun!

Her matematikçinin bilmesi gereken integral

Selam. Calculus derslerinde integral hesabından bahsederken, bazen tahtaya \int e^{-x^{2}}dx belirsiz integralini yazıp öğrencilerden bulmalarını istemek gibi afacanlıklar yaparım. İşin esprisi, bu fonksiyonun temel fonksiyonlar cinsinden bir integralinin olmaması. Bu integralin ise bende şöyle bir anısı var.

Yanılmıyorsam yine geçen yazımda bahsettiğim 2002-2003 öğretim yılındaydık. Dönem başıydı ve ders seçme aşamasındaydık. Ben de kayıt haftasında her derse bir kere girip ondan sonra kesin karar vermek gibi garip bir karar aldım. Garip diyorum çünkü açılan derslerden birisi Valery Hoca’nın açtığı “Special Functions and Differential Equations” dersiydi ve ben zaten hangi konulardan hoşlandığımı (ya da hoşlanmadığımı) az çok biliyordum.

Derse girdik oturuyoruz derken iki-üç hoşbeşten sonra Valery hoca tahtaya şu integrali yazdı

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

ve bize “bu integralin değerini bilmeyen matematikçi olamaz” dedi. İlk ders için etkileyici olan bu girişten sonra da bu integralin değerinin \sqrt{\pi} olduğunu hesapladı.

Ben de bu vesile ile bu integrali hesaplayarak sorumluluğumu yerine getirmek ve bayrağı gelecek nesillere devretmek istiyorum.

Bu integralin değerine I diyelim:

\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

Bu durumda, I’nın karesi aşağıdaki çift katlı integrale eşit olacaktır:

\displaystyle I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy = \iint\limits_{\mathbb{R}^{2}} e^{-x^{2} - y^{2}}dxdy

Kutupsal koordinatlarda bu integral aşağıdaki hale gelecek:

\displaystyle I^{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}drd\theta

(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ dxdy = rdrd\theta olduğunu hatırlayalım). Böylece

\displaystyle\begin{aligned} I^{2} = \int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}re^{-r^{2}}dr\\ & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\left(\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\right)_{0}^{t}\\ & = \pi \end{aligned}

elde edilir. Buradan da, her iki tarafın karekökünü alarak

\displaystyle I = \sqrt{\pi}

bulunur.

Peki, bu integralin temel fonksiyonlar cinsinden yazılamayacağını nereden biliyoruz? Yani sırf biz bulamıyoruz diye böyle bir integral yok mu diyoruz? Eşim evde benden bir şeyi bulmamı istediğinde, ilk baktığım yerde bulamazsam “yoook” der ve geri gelirim. Burada öyle yapmayıp, konuyla ilgili olarak W. Cook’un “Elementary Functions and Liouville’s Theorem” başlıklı yazısını bir link bırakıyorum.

Sonuç olarak, o dersten sonra Valery Hoca’nın dersine kayıt olmadım. Tam hatırlamıyorum ama ya geçen yazıda bahsettiğim Engin Hoca’nın sayılar teorisi dersine kayıt oldum ya da Sedef Hoca’nın verdiği (aldığım en zevkli ve heyecan verici derslerden biri olan) Ölçme Teorisi ve Lebesgue İntegrali dersine kayıt oldum. Ancak iyi ki o gün o derse girip bu integral hesabını öğrendim de matematikçi olabildim.

Dipnotlar

  1. Bu konu bana 2000-2001 öğretim yılında birinci sınıftayken fizik derslerinde “artık bakkallar bile integral alıyor” diyerek bize hafiften fırça atan Coşkun İşçi Hoca’yı hatırlattı.
  2. Hafızam beni yanıltmıyorsa, Engin hoca bize bu integrali Advanced Calculus final sınavında sormuştu. Zaten aynı soru o zaman kullandığımız Kaplan’ın Advanced Calculus kitabının egzersizleri arasında da var.