Her matematikçinin bilmesi gereken integral

Matematik 2 Minutes

Selam. Calculus derslerinde integral hesabından bahsederken, bazen tahtaya \int e^{-x^{2}}dx belirsiz integralini yazıp öğrencilerden bulmalarını istemek gibi afacanlıklar yaparım. İşin esprisi, bu fonksiyonun temel fonksiyonlar cinsinden bir integralinin olmaması. Bu integralin ise bende şöyle bir anısı var.

Yanılmıyorsam yine geçen yazımda bahsettiğim 2002-2003 öğretim yılındaydık. Dönem başıydı ve ders seçme aşamasındaydık. Ben de kayıt haftasında her derse bir kere girip ondan sonra kesin karar vermek gibi garip bir karar aldım. Garip diyorum çünkü açılan derslerden birisi Valery Hoca’nın açtığı “Special Functions and Differential Equations” dersiydi ve ben zaten hangi konulardan hoşlandığımı (ya da hoşlanmadığımı) az çok biliyordum.

Derse girdik oturuyoruz derken iki-üç hoşbeşten sonra Valery hoca tahtaya şu integrali yazdı

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

ve bize “bu integralin değerini bilmeyen matematikçi olamaz” dedi. İlk ders için etkileyici olan bu girişten sonra da bu integralin değerinin \sqrt{\pi} olduğunu hesapladı.

Ben de bu vesile ile bu integrali hesaplayarak sorumluluğumu yerine getirmek ve bayrağı gelecek nesillere devretmek istiyorum.

Bu integralin değerine I diyelim:

\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

Bu durumda, I’nın karesi aşağıdaki çift katlı integrale eşit olacaktır:

\displaystyle I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy = \iint\limits_{\mathbb{R}^{2}} e^{-x^{2} - y^{2}}dxdy

Kutupsal koordinatlarda bu integral aşağıdaki hale gelecek:

\displaystyle I^{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}drd\theta

(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ dxdy = rdrd\theta olduğunu hatırlayalım). Böylece

\displaystyle\begin{aligned} I^{2} = \int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}re^{-r^{2}}dr\\ & = 2\pi \lim_{t\to\infty}\left(\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\right)_{0}^{t}\\ & = \pi \end{aligned}

elde edilir. Buradan da, her iki tarafın karekökünü alarak

\displaystyle I = \sqrt{\pi}

bulunur.

Peki, bu integralin temel fonksiyonlar cinsinden yazılamayacağını nereden biliyoruz? Yani sırf biz bulamıyoruz diye böyle bir integral yok mu diyoruz? Eşim evde benden bir şeyi bulmamı istediğinde, ilk baktığım yerde bulamazsam “yoook” der ve geri gelirim. Burada öyle yapmayıp, konuyla ilgili olarak W. Cook’un “Elementary Functions and Liouville’s Theorem” başlıklı yazısını bir link bırakıyorum.

Sonuç olarak, o dersten sonra Valery Hoca’nın dersine kayıt olmadım. Tam hatırlamıyorum ama ya geçen yazıda bahsettiğim Engin Hoca’nın sayılar teorisi dersine kayıt oldum ya da Sedef Hoca’nın verdiği (aldığım en zevkli ve heyecan verici derslerden biri olan) Ölçme Teorisi ve Lebesgue İntegrali dersine kayıt oldum. Ancak iyi ki o gün o derse girip bu integral hesabını öğrendim de matematikçi olabildim.

Dipnotlar

  1. Bu konu bana 2000-2001 öğretim yılında birinci sınıftayken fizik derslerinde “artık bakkallar bile integral alıyor” diyerek bize hafiften fırça atan Coşkun İşçi Hoca’yı hatırlattı.
  2. Hafızam beni yanıltmıyorsa, Engin hoca bize bu integrali Advanced Calculus final sınavında sormuştu. Zaten aynı soru o zaman kullandığımız Kaplan’ın Advanced Calculus kitabının egzersizleri arasında da var.
Bilinmeyen adlı kullanıcının avatarı

Can Hatipoglu tarafından yayınlandı

Matematikçi.

Yayımlanmış

Yorum bırakın